从 Fermat 原理到 Morse 透镜：我的毕业论文主线

本文是我毕业论文《Ray tracing and equivalent geodesic lenses for Morse lens》的核心主线整理。导师：Dr. Yap Seong Shan；副导师：Prof. Chen Huanyang（陈焕阳，Morse 透镜原始论文作者）。

1. 问题：一个 GRIN 剖面能否”弯成”一个透镜？

任意球对称渐变折射率（GRIN）介质 $n(r)$，在合适条件下，都存在一个等折射率旋转曲面（测地线透镜），光在其上的传播与在原介质中完全一致。论文的核心问题：

给定 Morse 型 GRIN 剖面，如何构造它的等效测地线透镜？

从 Fermat 原理出发，定义三个度规等价关系：

\[\rho = nr, \qquad ds = n\,dr, \qquad dz^2 = ds^2 - d\rho^2\]

用链式法则可以推出一个万能恒等式：

\[s'(\rho)\,(n + rn') = n\]

这个恒等式连接了 GRIN 介质的折射率分布 $n(r)$ 与测地线透镜的曲面几何 $z(\rho)$——它是整条推导链的枢纽。

论文证明了 Cornbleet–Rinous（1981）反正弦分类 与 Šarbort–Tyc（2012）微分几何构造 在数学上等价，并给出修正的参数对应：

\[A = B, \qquad C = 1, \qquad a = -\frac{1}{B}\]

由此，Cornbleet 的一般隐式折射率定律在 $(A=B,\ C=1)$ 条件下无需额外系数匹配即精确还原 Morse 剖面：

\[n^2(r) = 2r^{-2+1/B} - r^{-2+2/B} \;\Longleftrightarrow\; n^2(r) = 2r^{-(a+2)} - r^{-2a-2}\]

参数	透镜	等效曲面行为
$a = -2$，$B = 1/2$	Luneburg 透镜	光滑、闭合（拓扑为球）✅
$a = -1$，$B = 1$	Eaton 透镜	原点处 $n \sim r^{-1/2}$ 使光学长度发散，曲面底部无法闭合（垂直切线开口）⚠️
$-2 < a < -1$	中间 Morse 透镜	介于两者之间连续插值

基于测地线方程的射线追踪模拟确认：构造曲面上的光轨迹精确复现了 GRIN 介质中的聚焦（Luneburg）与回射（Eaton）图样。

这条主线的优雅之处在于：一个折射率剖面是否”可被实现为闭合测地线透镜”，完全由曲面几何的闭合性决定——物理问题变成了几何问题。感谢导师们的指导，特别是 Prof. Chen 作为 Morse 透镜原始工作（Chen & Xiao 2020）的作者，让我有机会在”巨人肩膀”上做延伸。